08th Jan 2010
A trágica história do 2=1
A primeira coisa que todo professor faz quando um aluno cursa a disciplina de Cálculo 1 ou mesmo antes da faculdade, quando você é um daqueles 2-3 da sala que ficam discutindo com o professor de matemática, enquanto todos os outros alunos correm para o praticar algum esporte no intervalo do colegial.
Nos dois casos, o maior rito de passagem dos estudantes de engenheira, física, matemática, direito (óbvio que não, eles processariam o professor alegando negligência no ensino, sem mesmo entender a piada ) e outros nerd é quando o professor demonstra que 2=1. É mais um rito de passagem, tal qual todo jovem brasileiro que gosta de rock aprender a letra completa de Faroeste Caboclo, bem menos popular, mais ainda sim um rito.
Por que isso agora ? Bom, como me formei, dediquei a última semana um tempo para organizar os cadernos da graduação, para evitar misturar com as coisas do mestrado e me colocar na situação em que fiquei quando terminei o ensino médio e fui para a faculdade. As vezes queria retomar algo dos cadernos do colégio e simplesmente não os encontrava.
O fato é que no caderno do primeiro semestre encontrei logo na folha da primeira aula tal discussão sobre como mostrar que 2=1 e mostrar o porquê de estar errado. Lembrei-me também do professor Oscar, uma vez na disciplina de Controle II quando eu tentei demostrar a identidade de Euler e fiz de maneira errada, ele parou, olhou e espantado disse enfaticamente: “Heresia”.
Sempre que vejo algum aluno dizendo que é verdade, que consegue provar que 2=1, faço como Oscar, penso ou digo:”Heresia”.
Existe 1 milhão de maneiras diferentes de propagar tal heresia matemática. A mais comum é a segunte:
Queremos demostrar que 2=1, portanto, representaremos os valores númericos por a e b, variáveis distintas já que são valores diferentes.
Como tentamos provar que a=b, temos:
a = b = 1,
logo a = 1 e b = 1
Portanto,
a = b
Se multiplicarmos os lados por 1, temos:
a x a = b x a
Como a x a = a² = 1
Assim como, a x b (ou b x a, que é a mesma história) = 1, substituindo
a² = ab
Em seguida, podemos subtrair b² do 2 lados
a²-b² = ab-b²
Fatorando pela diferença de quadrados ou separando pelos fatores comuns, temos:
(a+b)(a-b) = b(a-b)
Como temos (a-b) dos 2 lados, podemos eliminá-los:
(a+b) = b
Portanto, temos que:
a+b = b
Substituindo com valores númericos
1+1 = 1
2 = 1
Quando olhamos para a expressão com variáveis o cálculo faz sentido, mas se olharmos numericamente parece um pouco estranho por afirmarmos coisas como 2=1, porém, como o objetivo seria provar de fato isso, aceitamos numericamente.
Bom, onde então está o erro ? Simples, bem simples!
Se a=1 e b=1, a-b=0, portanto a simplificação não pode ser feita, pois divisão por 0 é uma indeterminação.
Portanto a linha:
Fatorando pela diferença de quadrados ou separando pelos fatores comuns, temos:
(a+b)(a-b) = b(a-b)
Está incorreta, porque numericamente o que temos é:
(0)/(0)
Concluimos que o cálculo está incorreto, que podemos voltar a viver normalmente por que a matrix em que vivemos não tentará executar uma divisão por 0 e não terá um buffer overflow e que na matemática a malandragem carioca não funciona tão bem.
A primeira coisa que todo professor faz quando um aluno cursa a disciplina de Cálculo 1 ou mesmo antes da faculdade, quando você é um daqueles 2-3 da sala que ficam discutindo com o professor de matemática, enquanto todos os outros alunos correm para o praticar algum esporte no intervalo do colegial.
Nos dois casos, o maior rito de passagem dos estudantes de engenheira, física, matemática, direito (óbvio que não, eles processariam o professor alegando negligência no ensino, sem mesmo entender a piada ) e outros nerd é quando o professor demonstra que 2=1. É mais um rito de passagem, tal qual todo jovem brasileiro que gosta de rock aprender a letra completa de Faroeste Caboclo, bem menos popular, mais ainda sim um rito.
Por que isso agora ? Bom, como me formei, dediquei a última semana um tempo para organizar os cadernos da graduação, para evitar misturar com as coisas do mestrado e me colocar na situação em que fiquei quando terminei o ensino médio e fui para a faculdade. As vezes queria retomar algo dos cadernos do colégio e simplesmente não os encontrava.
O fato é que no caderno do primeiro semestre encontrei logo na folha da primeira aula tal discussão sobre como mostrar que 2=1 e mostrar o porquê de estar errado. Lembrei-me também do professor Oscar, uma vez na disciplina de Controle II quando eu tentei demostrar a identidade de Euler e fiz de maneira errada, ele parou, olhou e espantado disse enfaticamente: “Heresia”.
Sempre que vejo algum aluno dizendo que é verdade, que consegue provar que 2=1, faço como Oscar, penso ou digo:”Heresia”.
Existe 1 milhão de maneiras diferentes de propagar tal heresia matemática. A mais comum é a segunte:
Fatorando pela diferença de quadrados ou separando pelos fatores comuns, temos:(a+b)(a-b) = b(a-b)
Concluimos que o cálculo está incorreto, que podemos voltar a viver normalmente por que a matrix em que vivemos não tentará executar uma divisão por 0 e não terá um buffer overflow e que na matemática a malandragem carioca não funciona tão bem.
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